Π Π°Π½Π³ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½. ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1 ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. Π Π°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌ , Π° ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-ΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-ΡΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ ΡΡΠΎ "ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-ΡΠΎ" Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π° Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎ "ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-ΡΠΎ" Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈ-ΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈ-ΡΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠΎΠ΅ "ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ-ΡΠΎ" (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· k.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½ΠΎΡ (r +1)-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ r -Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°.
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ . ΠΡΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ°ΡΡΡΠ°).
ΠΡΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2 ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ r -Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ r .
ΠΡΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΡ ΠΈΠ· Π½ΡΠ»Π΅ΠΉ.
ΠΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π² ΡΠ΅Π±Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π°Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ
ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ:
ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ.
1. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ (r =1 ).
2. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ (r =2 ).
3. ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΡΠΌ (r =2 ).
4. ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° .
ΠΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ. ΠΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅:
,
,
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π½Π³ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ (r =2 ).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π½Π³ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ (Π² ΡΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ , Π΄ΠΎΡΠΎΠ³ΠΈΠΌ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ), Π° ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ , Π² Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π½Π³ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π½Π³ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3.
ΠΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ°ΡΡΡΠ°)
Π£ΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 1 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ. ΠΡΠΎΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΈ Π΅ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ°ΡΡΡΠ°.
ΠΠΎΠ΄ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ:
1) ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ;
2) ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ;
3) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ;
4) ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ "Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ " ΡΡΡΠΎΠΊ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ , Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ;
5) ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°. ΠΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ B , ΡΠΎ .
ΠΡΡΡΡ A - ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² m\times n , Π° k - Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π΅ m ΠΈ n : k\leqslant\min\{m;n\} . ΠΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ k ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ k ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A . ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ, Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ, Π° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² - Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.4. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
A=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end{pmatrix}\!.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ 3\times4 . ΠΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ: 12 ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² 1-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ M_{{}_2}^{{}_3}=\det(a_{32})=4 ; 18 ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² 2-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, M_{{}_{23}}^{{}^{12}}=\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=2 ; 4 ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° 3-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
M_{{}_{134}}^{{}^{123}}= \begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end{vmatrix}=0.
Π ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² m\times n ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ r-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, Π° Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (r+1)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ.
Π Π°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°. Π Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° Π½Π΅Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π½Π³ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ \operatorname{rg}A .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3.5. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
A=\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΡΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π½ΡΠ»Π΅Π²Π°Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ°Ρ 6 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ
M_{{}_{12}}^{{}^{12}}= M_{{}_{13}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&2\\0&2 \end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{24}}^{{}^{12}}= M_{{}_{34}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}2&0\\2&3\end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{14}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}\!.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ 3.2
1. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ (k+1)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ.
2. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
3. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
4. ΠΠ»Ρ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ \operatorname{Rg}A,~ \operatorname{rang}A,~ \operatorname{rank}A .
5. Π Π°Π½Π³ Π±Π»ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π½Π³ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΉ (ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Ρ.Π΅. Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Ρ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ Π½Π° Π΅Π΅ Π±Π»ΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π½Π³ Π±Π»ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠ² Π΅Π΅ Π±Π»ΠΎΠΊΠΎΠ²: \operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}A ΠΈ \operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}B , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A (ΠΈΠ»ΠΈ B ) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π±Π»ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (A\mid B) .
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ΅ ΠΈ ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.1 ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ΅. Π ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ {ΡΡΡΠΎΠΊΠ°) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π±Π΅Π· ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² m\times n Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ r ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ r ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°Ρ . Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
D=\begin{vmatrix}~ a_{11}&\cdots&a_{1r}\!\!&\vline\!\!&a_{1k}~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots~\\ ~a_{r1}&\cdots&a_{rr}\!\!&\vline\!\!&a_{rk}~\\\hline ~a_{s1}&\cdots&a_{sr}\!\!&\vline\!\!&a_{sk}~\end{vmatrix},
ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΡΠΈΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² s-ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ k-Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°. ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ 1\leqslant s\leqslant m ΠΈ ΡΡΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ s\leqslant r ΠΈΠ»ΠΈ k\leqslant r , ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ D ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ s>r ΠΈ k>r , ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ D ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ (r+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. Π Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
a_{s1}\cdot D_{r+11}+\ldots+ a_{sr}\cdot D_{r+1r}+a_{sk}\cdot D_{r+1\,r+1}=0,
Π³Π΄Π΅ D_{r+1\,j} - Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ D_{r+1\,r+1}\ne0 , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
a_{sk}=\lambda_1\cdot a_{s1}+\ldots+\lambda_r\cdot a_{sr} , Π³Π΄Π΅ \lambda_j=-\frac{D_{r+1\,j}}{D_{r+1\,r+1}},~j=1,2,\ldots,r.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ s=1,2,\ldots,m , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
\begin{pmatrix}a_{1k}\\\vdots\\a_{mk}\end{pmatrix}= \lambda_1\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin{pmatrix}a_{1r}\\\vdots\\a_{mr}\end{pmatrix}\!.
Ρ.Π΅. k -ΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ (ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ 1\leqslant k\leqslant n ) Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ΅ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ.
Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.2 (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ). ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π±ΡΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² {ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊ) Π±ΡΠ» Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ).
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ n , Ρ.Π΅. Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ Π½Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΎΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 3.1 ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ², Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ. ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ, ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ A_n ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅
A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_{n-1}\cdot A_{n-1},
ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΡ ΠΊ A_n ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ A_1 , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° (-\lambda_1) , Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ A_2 , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° (-\lambda_2) , ΠΈ Ρ.Π΄. ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ A_{n-1} , ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° (-\lambda_{n-1}) , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ \det(A_1~\cdots~A_{n-1}~o) Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 2 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ).
ΠΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.3 (ΠΎΠ± ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ). ΠΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΡΡΡ . ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A" . ΠΡΠ»ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ I ΡΠΈΠΏΠ° (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²), ΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ (r+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A" Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (r+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A , Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 3 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ). ΠΡΠ»ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ II ΡΠΈΠΏΠ° (ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \lambda\ne0 ), ΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ (Π³+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A" Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (r+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A , Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ \lambda\ne0 (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 6 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ). ΠΡΠ»ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ III ΡΠΈΠΏΠ° (ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ \Lambda ), ΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ (Π³+1)-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A" Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (Π³+1) -Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 9 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ), Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² (r+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 8 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (r+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A" ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (Π³+l)-ro ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡΡΡ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡΡΡ, Ρ.Π΅. Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 1. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠΎΠΊΠ° (ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²), ΡΠΎ ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ (ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³Π°.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Π° Π½ΡΠ»Π΅Π²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 2. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ (1.7), ΡΠΎ
\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=r\,.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (1.7) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ r-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 3. ΠΡΠ±Π°Ρ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π»ΡΠ±Π°Ρ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ A - Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΎ \operatorname{rg}A=n (ΡΠΌ. ΠΏ.Π Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ 3.2). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ (1.7), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ \Lambda=E_n , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=n (ΡΠΌ. ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 2). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ E_n ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.4 (ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ). Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡΡΡΡ \operatorname{rg}A=r
. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A
ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ r
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ. ΠΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ, ΡΠΎ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π±ΡΠ» Π±Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 3.2, Π° ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ»ΡΡ Π±Ρ r
. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ r
- ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ, Ρ.Π΅. Π»ΡΠ±ΡΠ΅ p
ΡΡΡΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ ΠΏΡΠΈ p>r
. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
p
ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° B
- ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
, ΡΠΎ \operatorname{rg}B\leqslant \operatorname{rg}A=r ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Ρ
ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
Π½Π΅ Π²Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ΅ ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A
Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ r
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 1.
ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ
ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²:
\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^T.
ΠΡΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 3.4, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ 1 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ). Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 2.
ΠΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ (ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ) Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ k
ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
. ΠΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A"
, Π° Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ΅Ρ
ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° B"
. ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 3.3 \operatorname{rg}B"=\operatorname{rg}B
. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
Π±ΡΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ, Ρ.Π΅. k=\operatorname{rg}B
(ΡΠΌ. ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 1), ΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B"
ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ k=\operatorname{rg}B"
. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B
Π±ΡΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ (k>\operatorname{rg}B)
, ΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B"
ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ (k>\operatorname{rg}B")
. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ
ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ 3.3
1.
Π ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ 1 ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 3.4 ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ², ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ 2, ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°Π΄ Π΅Π΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ. 2.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 3 ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 3.3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π»ΡΠ±ΡΡ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅Π΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊ, Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ \Lambda
(ΡΠΈΡ. 1.5) (ΡΠΌ. ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 1.1). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A
Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ (\det{A}\ne0)
, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ \Lambda
ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ (ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 2 ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 3.4). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ \Lambda
Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A
ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ (ΡΠΈΡ. 1.6) ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ \Lambda=E
(ΡΠΌ. ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 3 ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 3.3). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.5 (ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ).
Π Π°Π½Π³Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ
\operatorname{rg}(A\cdot B)\leqslant \min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}B\}.
Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΠΈ B ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ m\times p ΠΈ p\times n . ΠΡΠΈΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ C=AB\colon\,(A\mid C) . Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C) , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ C - ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (A\mid C) (ΡΠΌ. ΠΏ.5 Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ 3.2). ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ C_j , ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² A_1,A_2,\ldots,A_p ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A=(A_1~\cdots~A_p):
C_{j}=A_1\cdot b_{1j}+A_2\cdot b_{2j}+\ldots+A_{p}\cdot b_pj},\quad j=1,2,\ldots,n.
Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (A\mid C) , ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ (ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 1 ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 3.3). ΠΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ C , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: \operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A . ΠΡΡΡΠ΄Π°, \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A . ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}B , ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ A Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, ΡΠΎ \operatorname{rg}(AB)= \operatorname{rg}B ΠΈ \operatorname{rg}(CA)=\operatorname{rg}C , Ρ.Π΅. ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° Π½Π° Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3.6 ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ. Π Π°Π½Π³ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠ² ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ :
\operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (A+B\mid A\mid B) . ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A+B Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ A ΠΈ B . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B)= \operatorname{rg}(A\mid B) . Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ (A\mid B) Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B , a \operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B) (ΡΠΌ. ΠΏ.5 Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ 3.2), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ.
>>Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ k ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ k ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ², ΡΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ², ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ΅Π» m ΠΈ n. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ. ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ°Π²Π΅Π½ r , ΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° r , Π½ΠΎ Π²ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΠΌ r , ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· r(A). ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ²
Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ², Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π½ΠΈΠ·ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ D k-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (k+1)-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ D, Ρ.Π΅. ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ k .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² 1-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Ρ.Π΅. Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ (ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ) Π 1 = 1, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅. ΠΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ M 2 = , ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°ΠΌ 3-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΌ Π 2 . ΠΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π²Π° (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΉ). ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ : = 0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ Π½ΡΠ»Ρ. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
1) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²),
2) ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) Π½Π° ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ,
3) ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ) Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°), ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ²Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ, Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΈ Π ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: A ~ B.
ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΄ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ (ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ), Π° Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ. Π Π°Π½Π³ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° Π΅Π΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2 ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΅Π΅ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ:
.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° 2 ΠΈ 5:
;
ΠΈΠ· ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ; ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π = ,
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2, Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ r(A)=2. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ. ΠΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π² Π½ΡΠ»Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΈΠ· Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π² Π½ΡΠ»Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ r Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A , Π΅ΡΠ»ΠΈ:
1) Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ A Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° r , ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ;
2) Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° (r+1) ΠΈ Π²ΡΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ, ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅, ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ β ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ: rangA , r A ΠΈΠ»ΠΈ r .
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ r β ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠ»Ρ Π½ΡΠ»Ρ-ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π½Π³ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ° . ΠΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅ Word ΠΈ Excel . ΡΠΌ. ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ .
ΠΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ . ΠΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΠ°Π»Π΅Π΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
. ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ°Π½Π³Π° r . ΠΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ r, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌ, Π° ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ β Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° A ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ².
Π Π°Π½Π³ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ E ΡΠ°Π²Π΅Π½ n (ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΡΡΠΎΠΊ).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
. ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ , ΠΈ ΠΈΡ
ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ , . ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
. ΠΠΈΠ½ΠΎΡ M 1 =0, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π½ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ. ΠΠΈΠ½ΠΎΡ M 2 =-9β 0 ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ 2, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ A ΠΈΠ»ΠΈ / ΠΈ B ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π½Π³ΠΈ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ 2 . ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ detB=0 (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ), ΡΠΎ rangB=2 ΠΈ M 2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Π·Π° Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ B. Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3, Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ detA=-27β 0 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ 3, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ M 2 Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A . ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A .
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ΅).
ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° (ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΅Π΅ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²).
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.
- ΠΡΡΠΊΠΈΠ΅ (r+1) ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² (ΡΡΡΠΎΠΊ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π½Π³Π° r Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²), ΡΠΎ Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ. ΠΡΠ»ΠΈ rangA ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²), ΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ, (ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ) ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ.
- ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π·Π°ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ (ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ), ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²), ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ.
- Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²).
- ΠΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΡ
ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π½Π°ΠΈΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° (-2) ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΆΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° (-1) ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ.
Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΡ. ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ, ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΌΡ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΠ°Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ·Π²ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°, Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° . ΠΡΡΡΡ k β Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π΅ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ΅Π» m ΠΈ n , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ k-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° , ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ k ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΈ k ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°Ρ , ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ (pβk) ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ (nβk) ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ², Π° ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , ΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° k ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π .
Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ .
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. Π ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , ΡΠΎ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° . ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΌΡ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ, ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , Π° ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ .
ΠΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΈ .
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°. Π ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ. ΠΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° . ΠΡΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ².
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ .
ΠΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ
ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΈ .
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π
Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΎ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΡ
Π²ΡΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ
ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π .
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉΡΡ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
.
ΠΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ
ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΈ .
ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ .
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² k-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ?
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° k ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ , Π³Π΄Π΅ ΠΈ - ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· p ΠΏΠΎ k ΠΈ ΠΈΠ· n ΠΏΠΎ k ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° k ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° p Π½Π° n ?
ΠΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² . ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· p ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ k (ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° k ). Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ k Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ². ΠΡΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΈ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° k .
Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 3 Π½Π° 3, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ .
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· 3 ΠΏΠΎ 2 Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π : 1, 2 ; 1, 3 ΠΈ 2, 3 . ΠΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· 3 ΠΏΠΎ 2 Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ 1, 2 ; 1, 3 ΠΈ 2, 3 .
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
. ΠΡΠ±ΡΠ°Π² ΠΊ ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ
ΠΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ΅ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ°ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ:
ΠΡΠ°ΠΊ, Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅Π²ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ.
Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ β ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ.
Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Rank(A) . ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Rg(A) ΠΈΠ»ΠΈ Rang(A) .
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, Π° ΡΠ°Π½Π³ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² . ΠΡΠΎΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΡΡΡ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° .
ΠΠΊΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ»ΠΈ Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ (ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π½ΡΠ»Ρ).
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π° ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΌ, Π° ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅ΡΡΡΠΏΠ°Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΡΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ΅Π» p ΠΈ n .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²Π°Ρ, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΡΠ°Π½Π³ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
ΠΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
. ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡ
ΡΡΡΠΊ.
ΠΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Rank(A) = 2 .
ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ².
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅.
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² .
Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° .
ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π ΠΎΠΊ (k+1)-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ M ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° k ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π ΠΎΠΊ , Β«ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΒ» ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ M .
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ Π , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ M ΠΎΠΊ , Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° . ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ:
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ (ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΡ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°).
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ, ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ k-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° p Π½Π° n , ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° (k+1) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ . ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ k -ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° , Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ . ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ k-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² (k + 1)-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, Π² Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠ° Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²Π°Ρ, ΡΠΎ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ. Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ (Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ), ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Rank(A) = 2 . ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ (Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΌ), ΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ. Π ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ Rank(A) = k , Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (k + 1)-ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Rank(A) = min(p, n) , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ, ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° (min(p, n) β 1) .
Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ².
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ a 1 1
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°. ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ:
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ . ΠΠ΅ΡΠ΅Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ (ΠΈΡ
ΡΡΡΠΊ):
ΠΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ, ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° , ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Rank(A) = 2 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ².
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ a 1 1 = 1
ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
. ΠΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ°, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΌ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Rank(A) = 3 .
ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ°ΡΡΡΠ°).
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ:
- ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ;
- ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k , ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ;
- ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k .
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π , Π΅ΡΠ»ΠΈ Π ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΈΠ· Π Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Β« ~ Β» , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ A ~ B .
ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΈΠ· ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎ Rank(A) = Rank(B) .
Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
- ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) ΠΎΠ½ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ.
- ΠΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π° k . ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
- ΠΡΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°) ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k , Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
Π‘ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠ°Π½Π³ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, ΠΊ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ (Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊ Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ) Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ? Π Π°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ. ΠΠ½ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΡΡΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ. Π ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π½Π³ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΡ Π²ΠΈΠ΄ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠΈ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π .
ΠΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° .
ΠΡΡΡΡ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π½Π³ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° (p ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ n ).
ΠΡΠ°ΠΊ, . Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π
Π½Π° . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π΅ Π (1)
:
Π ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (1)
ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° . Π ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° . Π ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π΄ΠΎ p-ΠΎΠΉ
ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π΅ Π (2)
:
ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎ p-ΡΡ , ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ ΡΠ°Π½Π³ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ
ΡΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎ p-ΡΡ
Π΅ΡΡΡ Ρ
ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (2)
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ) ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (2) ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Β«Π½ΠΎΠ²ΡΠΉΒ» ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π» Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ.
ΠΡΠ°ΠΊ, . Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (2)
Π½Π° . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (3)
:
Π ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (3)
ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° . Π ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° . Π ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π΄ΠΎ p-ΠΎΠΉ
ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π΅ Π (4)
:
ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎ p-ΡΡ , ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π½Π³ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ, Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Rank(A) = 2 .
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎ p-ΡΡ Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π (2)
Π½Π° :
Π ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ; ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ β ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ; ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ β ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° :
ΠΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. Π’Π°ΠΊ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π ΠΊ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Rank(A (4)) = 2 . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π½Π³ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ.
Π’Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΊ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ.
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π½Π° :
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΡΠΆΠ½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , Π° , ΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ:
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° :
ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Rank(A (5))=3 , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Rank(A)=3 .
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Π Π°Π½Π³ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΌ.
ΠΠΎΠ΄Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΎΠ³.
ΠΡ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ:
- ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠ° Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ²;
- ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ²;
- ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ.
Π¦Π΅Π»Π΅ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠ° Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.